Критерии согласия (соответствия)

Для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения теоретическому закону распределения используются особые статистические показатели - критерии согласия (или критерии соответствия). К ним относятся критерии Пирсона, Колмогорова, Романовского, Ястрем- ского и др. Большинство критериев согласия базируется на использовании отклонений эмпирических частот от теоретических. Очевидно, что чем меньше эти отклонения, тем лучше теоретическое распределение соответствует эмпирическому (или описывает его).

Критерии согласия - это критерии проверки гипотез о соответствии эмпирического распределения теоретическому распределению вероятностей. Такие критерии подразделяются на два класса: общие и специальные. Общие критерии согласия применимы к самой общей формулировке гипотезы, а именно к гипотезе о согласии наблюдаемых результатов с любым априорно предполагаемым распределением вероятностей. Специальные критерии согласия предполагают специальные нулевые гипотезы, формулирующие согласие с определенной формой распределения вероятностей.

Критерии согласия, опираясь на установленный закон распределения, дают возможность установить, когда расхождения между теоретическими и эмпирическими частотами следует признать несущественными (случайными), а когда - существенными (неслучайными). Из этого следует, что критерии согласия позволяют отвергнуть или иодтвердить правильность выдвинутой при выравнивании ряда гипотезы о характере распределения в эмпирическом ряду и дать ответ, можно ли принять для данного эмпирического распределения модель, выраженную некоторым теоретическим законом распределения.

Критерий согласия Пирсона х 2 (хи-квадрат) - один из основных критериев согласия. Предложен английским математиком Карлом Пирсоном (1857-1936) для оценки случайности (существенности) расхождений между частотами эмпирического и теоретического распределений:

где k - число групп, на которые разбито эмпирическое распределение; fi - эмпирическая частота признака в i -й группе; / тс °р - теоретическая частота признака в i-й группе.

Схема применения критерия у} к оценке согласованности теоретического и эмпирического распределений сводится к следующему.

• 1. Определяется расчетная мера расхождения % 2 асч.
• 2. Определяется число степеней свободы.
• 3. По числу степеней свободы v с помощью специальной таблицы определяется %^бл
• 4. Если % 2 асч >х 2 абл, то при заданном уровне значимости а и числе степеней свободы v гипотезу о несущественности (случайности) расхождений отклоняют. В противном случае гипотезу можно признать не противоречащей полученным экспериментальным данным и с вероятностью (1 - а) можно утверждать, что расхождения между теоретическими и эмпирическими частотами случайны.

Уровень значимости - это вероятность ошибочного отклонения выдвинутой гипотезы, т.е. вероятность того, что будет отвергнута правильная гипотеза. В статистических исследованиях в зависимости от важности и ответственности решаемых задач пользуются следующими тремя уровнями значимости:

• 1) а = 0,1, тогда Р = 0,9;
• 2) а = 0,05, тогда Р = 0,95;
• 3) а = 0,01, тогда Р = 0,99.

Используя критерий согласия у}, необходимо соблюдать следующие условия.

• 1. Объем исследуемой совокупности должен удовлетворять условию п > 50, при этом частота или численность группы должна быть не менее 5. Если это условие нарушается, необходимо предварительно объединить небольшие частоты (меньше 5).
• 2. Эмпирическое распределение должно состоять из данных, полученных в результате случайного отбора, т.е. они должны быть независимыми.

Недостатком критерия согласия Пирсона является потеря части первоначальной информации, связанная с необходимостью группировки результатов наблюдений в интервалы и объединения отдельных интервалов с малым числом наблюдений. В связи с этим рекомендуется дополнять проверку соответствия распределений но критерию у} другими критериями. Особенно это необходимо при объеме выборки п ~ 100.

В статистике критерий согласия Колмогорова (также известный как критерий согласия Колмогорова - Смирнова) используется для того, чтобы определить, подчиняются ли два эмпирических распределения одному закону, либо определить, подчиняется ли полученное распределение предполагаемой модели. Критерий Колмогорова основан на определении максимального расхождения между накопленными частотами или частостями эмпирических или теоретических распределений. Критерий Колмогорова исчисляется по следующим формулам:

где D и d - соответственно максимальная разность между накопленными частотами (/-/") и между накопленными частостями (р-р ") эмпирического и теоретического рядов распределений; N - число единиц в совокупности.

Рассчитав значение X, по специальной таблице определяется вероятность, с которой можно утверждать, что отклонения эмпирических частот от теоретических случайны. Если признак принимает значения до 0,3, то это означает, что происходит полное совпадение частот. При большом числе наблюдений критерий Колмогорова способен обнаружить любое отступление от гипотезы. Это означает, что любое отличие распределения выборки от теоретического будет с его помощью обнаружено, если наблюдений будет достаточно много. Практическая значимость этого свойства несущественна, так как в большинстве случаев трудно рассчитывать на получение большого числа наблюдений в неизменных условиях, теоретическое представление о законе распределения, которому должна подчиняться выборка, всегда приближенное, а точность статистических проверок не должна превышать точность выбранной модели.

Критерий согласия Романовского основан на использовании критерия Пирсона, т.е. уже найденных значений х 2 > и числа степеней свободы:

где v - число степеней свободы вариации.

Критерий Романовского удобен при отсутствии таблиц для х 2 . Если К р К? > 3, то неслучайны и теоретическое распределение не может служить моделью для изучаемого эмпирического распределения.

Б. С. Ястремский использовал в критерии согласия не число степеней свободы, а число групп (k ), особую величину 0, зависящую от числа групп, и величину хи-квадрат. Критерий согласия Ястремского имеет тот же смысл, что и критерий Романовского, и выражается формулой

где х 2 - критерий согласия Пирсона; /е гр - число групп; 0 - коэффициент, для числа групп меньше 20 равный 0,6.

Если 1ф акт > 3, расхождения между теоретическими и эмпирическими распределениями неслучайны, т.е. эмпирическое распределение не отвечает требованиям нормального распределения. Если 1ф акт

Теоретические и эмпирические частоты. Проверка на нормальность распределения

При анализе вариационных рядов распределения большое значение имеет, насколько эмпирическое распределение признака соответствует нормальному . Для этого частоты фактического распределения нужно сравнить с теоретическими, которые характерны для нормального распределения. Значит, нужно по фактическим данным вычислить теоретические частоты кривой нормального распределения, являющиеся функцией нормированных отклонений.

Иначе говоря, эмпирическую кривую распределения нужно выровнять кривой нормального распределения.

Объективная характеристика соответствия теоретических и эмпирических частот может быть получена при помощи специальных статистических показателей, которые называют критериями согласия .

Критерием согласия называют критерий, который позволяет установить, является ли расхождение эмпирического и теоретического распределений случайным или значимым, т. е. согласуются ли данные наблюдений с выдвинутой статистической гипотезой или не согласуются. Распределение генеральной совокупности, которое она имеет в силу выдвинутой гипотезы, называют теоретическим.

Возникает необходимость установить критерий (правило), которое позволяло бы судить, является ли расхождение между эмпирическим и теоретическим распределениями случайным или значимым. Если расхождение окажется случайным , то считают, что данные наблюдений (выборки) согласуются с выдвинутой гипотезой о законе распределения генеральной совокупности и, следовательно, гипотезу принимают; если же расхождение окажется значимым , то данные наблюдений не согласуются с гипотезой и ее отвергают.

Обычно эмпирические и теоретические частоты различаются в силу того, что:

расхождение случайно и связано с ограниченным количеством наблюдений;

расхождение неслучайно и объясняется тем, что статистическая гипотеза о том, что генеральная совокупность распределена нормально - ошибочна.

Таким образом, критерии согласия позволяют отвергнуть или подтвердить правильность выдвинутой при выравнивании ряда гипотезы о характере распределения в эмпирическом ряду.

Эмпирические частоты получают в результате наблюдения. Теоретические частоты рассчитывают по формулам.

Для закона нормального распределения их можно найти следующим образом:

Σƒ i- сумма накопленных (кумулятивных) эмпирических частот

h - разность между двумя соседними вариантами

σ - выборочное среднеквадратическое отклонение

t–нормированное (стандартизированное) отклонение

φ(t)–функция плотности вероятности нормального распределения (находят по таблице значений локальной функции Лапласа для соответствующего значения t)

Имеется несколько критериев согласия, наиболее распространенными из которых являются: критерий хи-квадрат (Пирсона), критерий Колмогорова, критерий Романовского.

Критерий согласия Пирсона χ 2 – один из основных, который можно представить как сумму отношений квадратов расхождений между теоретическими (f Т) и эмпирическими (f) частотами к теоретическим частотам:

k–число групп, на которые разбито эмпирическое распределение,

f i –наблюдаемая частота признака в i-й группе,

f T –теоретическая частота.

Для распределения χ 2 составлены таблицы, где указано критическое значение критерия согласия χ 2 для выбранного уровня значимости α и степеней свободы df (или ν). Уровень значимости α – вероятность ошибочного отклонения выдвинутой гипотезы, т.е. вероятность того, что будет отвергнута правильная гипотеза. Р - статистическая достоверность принятия верной гипотезы. В статистике чаще всего пользуются тремя уровнями значимости:

α=0,10, тогда Р=0,90 (в 10 случаях из 100)

α=0,05, тогда Р=0,95 (в 5 случаях из 100)

α=0,01, тогда Р=0,99 (в 1 случае из 100) может быть отвергнута правильная гипотеза

Число степеней свободы df определяется как число групп в ряду распределения минус число связей: df = k –z. Под числом связей понимается число показателей эмпирического ряда, использованных при вычислении теоретических частот, т.е. показателей, связывающих эмпирические и теоретические частоты. Например, при выравнивании по кривой нормального распределения имеется три связи. Поэтому при выравнивании по кривой нормального распределения число степеней свободы определяется как df =k–3. Для оценки существенности, расчетное значение сравнивается с табличным χ 2 табл

При полном совпадении теоретического и эмпирического распределений χ 2 =0, в противном случае χ 2 >0. Если χ 2 расч > χ 2 табл, то при заданном уровне значимости и числе степеней свободы гипотезу о несущественности (случайности) расхождений отклоняем. В случае, если χ 2 расч < χ 2 табл то гипотезу принимаем и с вероятностью Р=(1-α) можно утверждать, что расхождение между теоретическими и эмпирическими частотами случайно. Следовательно, есть основания утверждать, что эмпирическое распределение подчиняется нормальному распределению . Критерий согласия Пирсона используется, если объем совокупности достаточно велик (N>50), при этом, частота каждой группы должна быть не менее 5.

Критерий согласия Колмогорова основан на определении максимального расхождения между накопленными эмпирическими и теоретическими частотами:

где D и d – соответственно, максимальная разность между накопленными частотами и накопленными частостями эмпирического и теоретического распределений. По таблице распределения статистики Колмогорова определяют вероятность, которая может изменяться от 0 до 1. При Р(λ)=1- происходит полное совпадение частот, Р(λ)=0 – полное расхождение. Если величина вероятности Р значительна по отношению к найденной величине λ, то можно предположить, что расхождения между теоретическим и эмпирическим распределениями несущественны, т. е. носят случайный характер. Основное условие использования критерия Колмогорова – достаточно большое число наблюдений.

Критерий согласия Колмогорова

Рассмотрим как критерий Колмогорова (λ) применяется при проверке гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Выравнивание фактического распределения по кривой нормального распределения состоит из нескольких этапов:

Сравнивают фактические и теоретические частоты.

По фактическим данным определяют теоретические частоты кривой нормального распределения, которая является функцией нормированного отклонения.

Проверяют на сколько распределение признака соответствует нормальному.

Для IV колонки таблицы:

В MS Excel нормированное отклонение (t) рассчитывается с помощью функции НОРМАЛИЗАЦИЯ. Необходимо выделить диапазон свободных ячеек по количеству вариант (строк электронной таблицы). Не снимая выделения, вызвать функцию НОРМАЛИЗАЦИЯ. В появившемся диалоговом окне указать следующие ячейки, в которых размещены, соответственно, наблюдаемые значения (X i), средняя (X) и среднеквадратическое отклонение Ϭ. Операцию обязательно завершить одновременным нажатием клавиш Ctrl+Shift+Enter

Для V колонки таблицы:

Функцию плотности вероятности нормального распределения φ(t) находим по таблице значений локальной функции Лапласа для соответствующего значения нормированного отклонения (t)

Для VI колонки таблицы:

Критерий согласия Колмогорова (λ) определяется путем деления модуля max разности между эмпирическими и теоретическими кумулятивными частотами на корень квадратный из числа наблюдений:

По специальной таблице вероятности для критерия согласия λ определяем, что значению λ=0,59 соответствует вероятность 0,88 (λ

Распределение эмпирических и теоретических частот, плотности вероятности теоретического распределения

Применяя критерии согласия для проверки соответствия наблюдаемого (эмпирического) распределения теоретическому, следует различать проверку простых и сложных гипотез.

Одновыборочный критерий нормальности Колмогорова-Смирнова основан на максимуме разности между кумулятивным эмпирическим распределением выборки и предполагаемым (теоретическим) кумулятивным распределением. Если D статистика Колмогорова-Смирнова значима, то гипотеза о том, что соответствующее распределение нормально, должна быть отвергнута.

Критерии для проверки случайности и оценки резко выделяющихся наблюдений Литература Введение В практике статистического анализа экспериментальных данных основной интерес представляет не само по себе вычисление тех или иных статистик а ответы на вопросы такого типа. Соответственно разработано и множество критериев для проверки выдвигаемых статистических гипотез. Все критерии для проверки статистических гипотез делятся на две большие группы: параметрические и непараметрические.

Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск

Контрольная работа

Использование критериев согласия

Введение

Литература

Введение

В практике статистического анализа экспериментальных данных основной интерес представляет не само по себе вычисление тех или иных статистик, а ответы на вопросы такого типа. Действительно ли среднее генеральной совокупности равно некоторому числу? Значимо ли отличается от нуля коэффициент корреляции? Равны ли дисперсии двух выборок? И таких вопросов в зависимости от конкретной исследовательской задачи может возникать много. Соответственно разработано и множество критериев для проверки выдвигаемых статистических гипотез. Некоторые наиболее употребительные из них мы и рассмотрим. В основном они будут относиться к средним, дисперсиям, коэффициентам корреляции и распределениям численностей.

Все критерии для проверки статистических гипотез делятся на две большие группы: параметрические и непараметрические. Параметрические критерии основаны на предположении о том, что выборочные данные взяты из генеральной совокупности с известным распределением, и основная задача состоит в оценке параметров этого распределения. Для непараметрических критериев не требуется никаких предположений о характере распределения, за исключением предположения о том, что оно непрерывно.

Первыми рассмотрим параметрические критерии. Последовательность проверки будет включать формулирование нуль-гипотезы и альтернативной гипотезы, формулирование делаемых допущений, определение выборочной статистики, используемой при проверке и, образование выборочного распределения проверяемой статистики, определение критических областей для выбранного критерия и построение доверительного интервала для выборочной статистики.

1 Критерии согласия для средних

Пусть проверяемая гипотеза состоит в том, что параметр генеральной совокупности. Необходимость такой проверки может возникнуть, например, в следующей ситуации. Предположим, что на основании обширных исследований установлен диаметр раковины ископаемого моллюска в отложениях из некоторого фиксированного места. Пусть также в нашем распоряжении оказалось некоторое количество раковин, найденных в другом месте, а мы делаем предположение, что конкретное место не оказывает влияния на диаметр раковины, т.е. что среднее значение диаметра раковины для всей популяции моллюсков, когда-то живших в новом месте, равно известному значению, полученному ранее при изучении данного вида моллюсков в первом местообитании.

Если это известное значение равно, то нуль-гипотеза и альтернативная гипотеза записываются следующим образом: Примем, что переменная x в рассматриваемой совокупности имеет нормальное распределение, а величина дисперсии генеральной совокупности неизвестна.

Будем проверять гипотезу с помощью статистики:

, (1)
где - выборочное стандартное отклонение.

Было показано, что если справедлива, то t в выражении (1) имеет t-распределение Стьюдента с n-1 степенями свободы. Если выбрать уровень значимости (вероятность отбросить правильную гипотезу) равным, то в соответствии с тем, о чем шла речь в предыдущей главе, можно определеить критические значения для проверки =0.

В данном случае, так как распределение Стьюдента симметрично, то (1-) часть площади под кривой этого распределения с n-1 степенями свободы будет заключена между точками и, которые равны друг другу по абсолютной величине. Следовательно, все значения меньше отрицательного и больше положительного значения для t-распределения с заданным числом степеней свободы при выбранном уровне значимости будут составлять критическую область. Попадание выборочного значения t в эту область приводит к принятию альтернативной гипотезы.

Доверительный интервал для строится по описанной ранее методике и определяется из следующего выражения

(2)

Итак, пусть в нашем случае известно, что диаметр раковины ископаемого моллюска равен 18,2 мм. В нашем распоряжении оказалась выборка из 50 вновь найденных раковин, для которых мм, а =2,18 мм. Проверим: =18,2 против Имеем

Если уровень значимости выбрать =0,05 то критическое значение. Отсюда следует, что можно отклонить в пользу на уровне значимости =0,05 . Таким образом, для нашего гипотетического примера можно утверждать (естественно, с некоторой вероятностью), что диаметр раковины ископаемых моллюсков определенного вида зависит от мест, в которых они обитали.

В связи с тем, что t-распределение симметрично, приводятся только положительные значения t этого распределения при выбранных уровнях значимости и числе степеней свободы. Причем учитывается не только доля площади под кривой распределения справа от значения t, но и одновременно слева от значения -t. Это связано с тем, что в большинстве случаев при проверке гипотез нас интересует существенность отклонений сама по себе, независимо от того, в большую или меньшую сторону эти отклонения, т.е. мы проверяем против, а не против: >a или:

Вернемся теперь к нашему примеру. Доверительный 100(1-)% интервал для равен

18,92,01

Рассмотрим теперь случай, когда необходимо сравнить между собой средние двух генеральных совокупностей. Проверяемая гипотеза выглядит так: : =0, : 0. Предполагается также, что имеет нормальное распределение со средним и дисперсией, а - нормальное распределение со средним и той же дисперсией. Кроме того, принимаем, что выборки, по которым оцениваются генеральные совокупности, извлекаются независимо друг от друга и имеют объем соответственно и Из независимости выборок следует, что если взять большее их число и для каждой пары рассчитать средние значения, то множество этих пар средних будет полностью некоррелированно.

Проверка нулевой гипотезы проводится с использованием статистики

(3)

где и - оценки дисперсии для первой и второй выборок соответственно. Нетрудно видеть, что (3) представляет собой обобщение (1).

Было показано, что статистика (3) имеет t-распределение Стьюдента с степенями свободы. При равенстве и, т.е. = = формула (3) упрощается и имеет вид

(4)

Рассмотрим пример. Пусть при измерении стеблевых листьев одной и той же популяции растений в течение двух сезонов получены следующие результаты: Будем считать, что условия для использования критерия Стьюдента, т.е. нормальность генеральных совокупностей, из которых взяты выборки, существование неизвестной, но одной и той же дисперсии для этих совокупностей и независимость выборок выполнены. Оценим на уровне значимости =0,01. Имеем

Табличное значение t = 2,58. Поэтому гипотеза о равенстве средних значений длин стеблевых листьев для популяции растений в течение двух сезонов должна быть отвергнута на выбранном уровне значимости.

Внимание! В качестве нулевой гипотезы в математической статистике выбирается гипотеза об отсутствии значимых различий между сравниваемыми показателями, причем независимо от того, идет ли речь о средних, дисперсиях или других статистиках. И во всех этих случаях, если эмпирическое (вычисленное по формуле) значение критерия больше теоретического (выбранного из таблиц), то отвергается. Если же эмпирическое значение меньше табличного, то принимается.

Для того, чтобы построить доверительный интервал для разности средних этих двух генеральных совокупностей, обратим внимание на то, что критерий Стьюдента, как видно из формулы (3), оценивает значимость разности между средними относительно стандартной ошибки этой разности. В том, что знаменатель в (3) представляет именно эту стандартную ошибку, нетрудно убедиться, используя уже рассмотренные ранее соотношения и сделанные предположения. В самом деле, нам известно, что в общем случае

Если x и y независимы, то и

Взяв вместо x и y выборочные значения и и припомнив сделанное предположение о том, что обе генеральные совокупности имеют одну и ту же дисперсию, получим

(5)

Оценка дисперсии может быть получена из следующего соотношения

(6)

(Мы делим на, потому что по выборкам оцениваются две величины и, и значит, число степеней свободы должно быть уменьшено на два.)

Если теперь подставить (6) в (5) и извлечь квадратный корень, то получится знаменатель в выражении (3).

После этого отступления вернемся к построению доверительного интервала для через -.

Имеем

Сделаем некоторые замечания, связанные с предположениями, используемыми при построении t-критерия. Прежде всего было показано, что нарушения допущения о нормальности для имеют незначительное влияние на уровень значимости и мощность критерия для 30. Несущественно также и нарушение предположения об однородности дисперсий обоих генеральных совокупностей, из которых берутся выборки, но тольков том случае, когда объемы выборок равны. Если же а дисперсии обеих совокупностей отличаются друг от друга, то вероятности ошибок первого и второго рода будут существенно отличаться от ожидаемых.

В этом случае для проверки следует пользоваться критерием

(7)

с числом степеней свободы

. (8)

Как правило, получается дробным числом, поэтому при пользовании таблицами t-распределения необходимо брать табличные значения для ближайших целых значений и проводить интерполяцию для нахождения t, соответствующего полученному.

Рассмотрим пример. При изучении двух подвидов озерной лягушки рассчитывалось отношение длины тела к длине голени. Были взяты две выборки с объемами =49 и =27. Средние и дисперсии интересующего нас отношения оказались равными соответственно =2,34; =2,08; =0,21; =0,35. Если теперь проверять гипотезу с использованием формулы (2), то получим, что

При уровне значимости =0,05 мы должны отвергнуть нулевую гипотезу (табличное значение t=1,995) и считать, что есть статистически достоверные на выбранном уровне значимости различия между средними значениями измеряемых показателей для двух подвидов лягушки.

При использовании же формул (6) и (7) имеем

В данном случае для того же уровня значимости =0,05 табличное значение t=2,015, и нулевая гипотеза принимается.

На этом примере достаточно ясно видно, что пренебрежение условиями, принимаемыми при выводе того или иного критерия, может привести к результатам, прямо противоположным тем, которые имеют место на самом деле. Конечно же, в данном случае, имея выборки разного объема в отсутствии заранее установленного факта о том, что дисперсии измеряемого показателя в обеих популяциях статистически равны, следовало пользоваться формулами (7) и (8), которые и показали отсутствие статистически значимых различий.

Поэтому хочется повторить еще раз, что проверка соблюдения всех предположений, сделанных при выводе того или иного критерия, является совершенно необходимым условием для его корректного использования.

Неизменным требованием в обоих приведенных модификациях t-критерия было требование о независимости между собой выборок. Однако на практике достаточно часто встречаются ситуации, когда это требование не может быть выполнено по объективным причинам. Например, измеряются некоторые показатели на одном и том же животном или участке территории до и после действия внешнего фактора и т.д. И в этих случаях нас может интересовать проверка гипотезы против. Будем по-прежнему предполагать, что обе выборки взяты из нормальных генеральных совокупностей с одинаковой дисперсией.

В этом случае можно воспользоваться тем фактом, что разности между нормально распределенными величинами также имеют нормальное распределение, и поэтому можно воспользоваться критерием Стьюдента в форме (1). Таким образом, будет проверяться гипотеза о том что n разностей есть выборка из нормально распределенной генеральной совокупности со средним, равным нулю.

Обозначив i-ю разность через, имеем

, (9)
где

Рассмотрим пример. Пусть в нашем распоряжении имеются данные о количестве импульсов отдельной нервной клетки за определенный интервал времени до () и после () действия раздражителя:

Отсюда Имея в виду, что (9) имеет t-распределение, и выбрав уровень значимости =0,01, из соответствующей таблицы Приложения найдем, что критическое значение t для n-1=10-1=9 степеней свободы равно 3,25. Сравнение теоретического и эмпирического значений t-статистики показывает, что нулевая гипотеза об отсутствии статистически значимых различий между частотой импульсации до и после подачи стимула должна быть отвергнута. Можно сделать вывод о том, сто используемый раздражитель статистически значимо меняет частоту импульсации.

В экспериментальных исследованиях, как упоминалось выше, зависимые выборки появляются достаточно часто. Тем не менее этот факт иногда игнорируется и t-критерий некорректно используется в форме (3).

В неправомерности этого можно убедиться, рассматривая стандартные ошибки разности между некоррелированными и коррелированными средними. В первом случае

А во втором

Стандартная ошибка разности d равна

С учетом этого знаменатель в (9) будет иметь вид

Теперь обратим внимание на то, что числители выражений (4) и (9) совпадают:

следовательно, различие в величине t в них зависит от знаменателей.

Таким образом, если в задаче с зависимыми выборками будет использована формула (3), и при этом выборки будут иметь положительную корреляцию, то получаемые значения t будут меньше, чем они должны были бы быть при использовании формулы (9), и может возникнуть ситуация, что будет принята нулевая гипотеза, в то время как она неверна. Обратная ситуация может возникнуть, когда между выборками будет существовать отрицательная корреляция, т.е. в этом случае значимыми будут признаваться такие различия, которые на самом деле таковыми не являются.

Вернемся вновь к примеру с импульсной активностью и вычислим для приведенных данных значение t по формуле (3), не обращая внимания на то, что выборки связаны. Имеем: Для числа степеней свободы, равного 18, и уровня значимости =0,01 табличное значение t=2,88 и, на первый взгляд, кажется, что ничего не произошло, даже при использовании непригодной для данных условий формулы. И в этом случае вычисленное значение t приводит к отбрасыванию нулевой гипотезы, т.е. к тому же самому выводу, который был сделан с использованием правильной в данной ситуации формулой (9).

Однако давайте переформируем имеющиеся данные и представим их в следующем виде (2):

Это те же самые значения, и они вполне могли бы быть получены в каком-нибудь из опытов. Так как все значения в обеих выборках сохранены, то использование критерия Стьюдента в формуле (3) дает уже полученное ранее значение =3,32 и приводит к тому же самому выводу, который уже был сделан.

А теперь рассчитаем значение t по формуле (9), которая и должна использоваться в данном случае. Имеем: Критическое значение t при выбранном уровне значимости и девяти степенях свободы равно 3,25. Следовательно, оснований отвергнуть нулевую гипотезу у нас нет, мы ее принимаем, и оказывается, что этот вывод прямо противоположен тому, который был сделан при использовании формулы (3).

На этом примере мы вновь убедились в том, как важно для получения правильных выводов при анализе экспериментальных данных строго соблюдать все требования, которые были положены в основу определения того или иного критерия.

Рассмотренные модификации критерия Стьюдента предназначаются для проверки гипотез относительно средних двух выборок. Однако возникают ситуации, когда появляется необходимость сделать выводы относительно равенства одновременно k средних. Для этого случая тоже разработана определенная статистическая процедура, которая будет рассмотрена в дальнейшем при обсуждении вопросов, связанных с дисперсионным анализом.

2 Критерии согласия для дисперсий

Проверка статистических гипотез относительно дисперсий генеральных совокупностей проводится в той же последовательности, что и для средних. Напомним вкратце эту последовательность.

1. Формулируется нулевая гипотеза (об отсутствии статистически значимых различий между сравниваемыми дисперсиями).

2. Делаются некоторые предположения относительно выборочного распределения статистики, с помощью которой планируется оценивать параметр, входящий в гипотезу.

3. Выбирается уровень значимости для проверкигипотезы.

4. Рассчитывается значение интересующей нас статистики и принимается решение относительно истинности нулевой гипотезы.

А теперь начнем с проверки гипотезы о том, что дисперсия генеральной совокупности =a, т.е. против. Если предположить, что переменная x имеет нормальное распределение, и что выборка объема n извлекается из генеральной совокупности случайно, то для проверки нулевой гипотезы используется статистика

(10)

Вспомнив формулу для расчета дисперсии, перепишем (10) так:

. (11)

Из этого выражения видно, что числитель представляет собой сумму квадратов отклонений нормально распределенных величин от их среднего. Каждое из этих отклонений также распределено нормально. Поэтому в соответствии с известным нам распределением суммы квадратов нормально распределенных величин статистики (10) и (11) имеют -распределение с n-1 степенью свободы.

По аналогии с использованием t-распределения при проверке для выбранного уровня значимости по таблице распределения устанавливают критические точки, соответствующие вероятностям принятия нулевой гипотезы и. Доверительный интервал для при выбранном строится следующим образом:

. (12)

Рассмотрим пример. Пусть на основании обширных экспериментальных исследований установлено, что дисперсия содержания алкалоидов одного вида растений из определенного района равна 4,37 условных единиц. В распоряжение специалиста попадает выборка объемом n = 28 таких растений, предположительно из того же района. Проведенный анализ показал, что для этой выборки =5,01 и нужно убедиться в том, что эта и известная ранее дисперсии статистически неразличимы на уровне значимости =0,1.

По формуле (10) имеем

Полученную величину необходимо сравнить с критическими значениями /2=0,05 и 1--/2=0,95. Из таблицы Приложения для с 27 степенями свободы имеем соответственно 40,1 и 16,2, откуда следует, что нулевая гипотеза может быть принята. Соответствующий доверительный интервал для равен 3,37<<8,35.

В отличии от проверки гипотез относительно выборочных средних с использованием критерия Стьюдента, когда ошибки первого и второго рода несущественно менялись при нарушении предположения о нормальном распределении генеральных совокупностей, в случае гипотез о дисперсиях при невыполнении условий нормальности ошибки меняются существенно.

Рассмотренная выше задача о равенстве дисперсии некоторому фиксированному значению представляет ограниченный интерес, так как довольно редко встречаются ситуации, когда известна дисперсия генеральной совокупности. Значительно больший интерес представляет случай, когда нужно проверить, равны ли дисперсии двух совокупностей, т.е. проверка гипотезы против альтернативы. При этом предполагается, что выборки объемом и случайно извлекаются из генеральных совокупностей с дисперсиями и.

Для проверки нулевой гипотезы используется критерий отношения дисперсий Фишера

(13)

Так как суммы квадратов отклонений нормально распределенных случайных величин от их средних значений имеют распределение, то и числитель и знаменатель (13) представляют собой величины с распределением, поделенные соответственно на и, и следовательно, их отношение имеет F-распределение с -1 и -1 степенями свободы.

Общепринято - и так построены таблицы F-распределения, - что в качестве числителя в (13) берется большая из дисперсий, и поэтому определяется только одна критическая точка, соответствующая выбранному уровню значимости.

Пусть в нашем распоряжении оказались две выборки объемом =11 и =28 из популяций обыкновенных и овальных прудовиков, для которых отношения высоты к ширине имеют дисперсии =0,59 и =0,38. Необходимо проверить гипотезу о равенстве этих дисперсий этих показателей для изучаемых популяций при уровне значимости =0,05. Имеем

В литературе иногда можно встретить утверждение о том, что проверке гипотезы о равенстве средних по критерию Стьюдента должна предшествовать проверка гипотезы о равенстве дисперсий. Это неправильная рекомендация. Более того, она может привести к ошибкам, которых можно избежать, если ей не следовать.

В самом деле, результаты проверки гипотезы о равенстве дисперсий с использованием критерия Фишера в значительной мере зависят от предположения о том, что выборки взяты из совокупностей с нормальным распределением. В то же время критерий Стьюдента малочувствителен к нарушениям нормальности, и если удается получить выборки равного объема, то предположение о равенстве дисперсий также не является существенным. В случае неравных n следует пользоваться для проверки формулами (7) и (8).

При проверке гипотез о равенстве дисперсий возникают некоторые особенности в расчетах, связанных с зависимыми выборками. В этом случае для проверки гипотезы против альтернативы используется статистика

(14)

Если нулевая гипотеза справедлива, то статистика (14) имеет t-распределение Стьюдента с n-2 степенями свободы.

При измерении блеска 35 образцов покрытий была получена дисперсия =134,5. Повторные измерения через две недели показали =199,1. При этом коэффициент корреляции между парными измерениями оказался равным =0,876. Если не обращать внимание на то, что выборки зависимы и воспользоваться критерием Фишера для проверки гипотезы, то получим F=1,48. Если выбрать уровень значимости =0,05, то нулевая гипотеза будет принята, так как критическое значение F-распределения для =35-1=34 и =35-1=34 степеней свободы равно 1,79.

В то же время, если использовать подходящую для данного случая формулу (14), то получим t=2,35, в то время как критическое значение t для 33 степеней свободы и выбранного уровня значимости =0,05 равно 2,03. Следовательно, нулевая гипотеза о равенстве дисперсий в этих двух выборках должна быть отклонена. Таким образом, из этого примера видно, что, как и в случае проверки гипотезы о равенстве средних, использование критерия, не учитывающего специфику экспериментальных данных, приводит к ошибке.

В рекомендуемой литературе можно найти критерий Бартлетта, используемый при проверке гипотез об одновременном равенстве k дисперсий. Кроме того, что вычисления статистики этого критерия довольно трудоемки, основной недостаток этого критерия в том, что он необычайно чувствителен к отклонениям от предположения о нормальности распределений совокупностей из которых извлекаются выборки. Таким образом, при его использовании никогда нельзя быть уверенным в том, что нулевая гипотеза отклонена в самом деле из-за того, что статистически значимо различаются дисперсии, а не из-за того, что выборки не имеют нормального распределения. Поэтому в случае возникновения проблемы сравнения нескольких дисперсий необходимо искать такую постановку задачи, когда можно будет использовать критерий Фишера или его модификации.

3 Критерии согласия относительно долей

Довольно часто приходится анализировать совокупности, в которых объекты могут быть отнесены к одной из двух категорий. Например, по принадлежности к полу в некоторой популяции, по наличию некоторого микроэлемента в почве, по темной или светлой окраске яиц у некоторых видов птиц и т.д.

Долю элементов, обладающих определенным качеством, обозначим через P, где P представляет собой отношение объектов с интересующим нас качеством ко всем объектам в совокупности.

Пусть проверяется гипотеза о том, что в некоторой достаточно большой совокупности доля P равна некоторому числу a (0

Для дихотомических (имеющих две градации) переменных, как в нашем случае, P играет ту же роль, что и среднее генеральной совокупности переменных, измеряемых количественно. С другой стороны, ранее было указано, что стандартная ошибка доли P может быть представлена в виде

Тогда, если верна гипотеза, то статистика

, (19)
где p - выборочное значение P, имеет единичное нормальное распределение. Сразу нужно оговориться, что такая аппроксимация справедлива, если меньшее из произведений np или (1-p)n больше 5.

Пусть из литературных данных известно, что в популяции озерной лягушки доля особей, имеющих продольную полосу на спине составляет 62% или 0,62. В нашем распоряжении оказалась выборка из 125 (n) особей, 93 (f) из которых имеют продольную полосу на спине. Необходимо выяснить, соответствует ли доля особей с интересующим нас признаком в популяции, из которой извлечена выборка, известным данным. Имеем: p=f/n=93/125=0,744, a=0,62, n(1-p)=125(1-0,744)=32>5 и

Следовательно, и для уровня значимости = 0,05 и для = 0,01 нулевая гипотеза должна быть отвергнута, так как критическое значение для = 0,05 равно 1,96, а для = 0,01 - 2,58 .

Если существуют две большие совокупности, в которых доли объектов с интересующих нас свойством составляют соответственно и, то интерес представляет проверка гипотезы: = против альтернативной:. Для проверки извлекаются случайно и независимо две выборки объемами и. По этим выборкам оцениваются и и определяется статистика

(20)

где и - число объектов, обладающих данным признаком, соответственно в первой и второй выборках.

Из формулы (20) можно понять, что при ее выводе использовался все тот же принцип, с которым мы сталкивались и ранее. А именно, для проверки статистических гипотез определяется количество стандартных отклонений, составляющих разность между интересующими нас показателями, в самом деле величина (+)/(+) представляет собой долю объектов с заданным признаком в обоих выборках одновременно. Если обозначит ее через, то выражение во второй скобке знаменателя (20) представляет собой (1-) и становится очевидным, что выражение (20) эквивалентно формуле для проверки нулевой гипотезы:

Так как.

С другой стороны, стандартная ошибка. Таким образом, (20) может быть записано в виде

. (21)

Единственное различие между этой статистикой и статистикой, используемой при проверке гипотез о средних состоит в том, что z имеет не t-, а единичное нормальное распределение.

Пусть изучение группы людей (=82) показало, что доля лиц, у которых в электроэнцефалограмме обнаруживается -ритм, составляет 0,84 или 84%. Исследование группы людей в другой местности (=51) показало, что эта доля составляет 0,78. Для уровня значимости =0,05 необходимо проверить, что доли лиц, обладающих мозговой альфа-активностью в генеральных совокупностях, из которых взяты выборки, одинаковы.

Прежде всего убедимся в том, что имеющиеся экспериментальные данные позволяют пользоваться статистикой (20). Имеем:

и так как z имеет нормальное распределение, для которого критической точкой при =0,05 является 1,96, то нулевая гипотеза принимается.

Рассмотренный критерий справедлив, если выборки, для которых сравнивались доли объектов, обладающих интересующим нас признаком, являются независимыми. Если это требование не выполняется, например, когда совокупность рассматривается в последовательные интервалы времени, то один и тот же объект может в этих интервалах обладать или не обладать данным признаком.

Обозначим наличие у объекта некоторого интересующего нас признака через 1, а его отсутствие - через 0. Тогда мы приходим к таблице 3, где (a+c) - число объектов в первой выборке, обладающих некоторым признаком, (a+c) - число объектов с этим признаком во второй выборке, а n - общее число обследованных объектов. Очевидно, что это уже известная четырехпольная таблица, взаимосвязь в которой оценивается с помощью коэффициента

Для такой таблицы и малых (<10) значений в каждой клетке Р.Фишером было найдено точное распределение для, которое позволяет проверять гипотезу: =. Это распределение имеет довольно сложный вид, и его критические точки приводятся в специальных таблицах. В реальных ситуациях, как правило, значения в каждой клетке больше 10, и было показано, что в этих случаях для проверки нулевой гипотезы можно использовать статистику

(22)
которая в случае, если нулевая гипотеза верна, имеет распределение хи-квадрат с одной степенью свободы.

Рассмотрим пример. Пусть в течение двух лет проверялась эффективность прививок от малярии, сделанных в разное время года.. Проверяется гипотеза о том, что эффективность прививок не зависит от времени года, когда они делаются. Имеем

Табличное значение для =0,05 равно 3,84, а для =0,01 - 6,64. Следовательно, на любом из этих уровней значимости нулевая гипотеза должна быть отвергнута, и в этом гипотетическом примере (впрочем имеющем отношение к действительности) может быть сделан вывод о том, что пививки, сделанные во второй половине года, значительно эффективней.

Естественным обобщением коэффициента связи для четырехпольной таблицы является, как уже упоминалось ранее, коэффициент взаимной сопряженности Чупрова. Для этого коэффициента неизвестно точное распределение, поэтому о справедливости гипотезы судят на основании сравнения вычисленного значения и выбранного уровня значимости с критическими точками для этого распределения. Число степеней свободы определяется из выражения (r-1)(c-1), где r и c - число градаций по каждому из признаков.

Напомним расчетные формулы

Приведены данные, полученные при исследовании дальности зрения правым и левым глазом у людей, не имеющих аномалий зрения. Условно эта дальность разбита на четыре категории, и нас интересует достоверность связи между дальностью зрения левым и правым глазом. Сначала найдем все слагаемые в двойной сумме. Для этого квадрат каждого значения, приводимого в таблице, делится на сумму строки и столбца, к которым принадлежит выбранное число. Имеем

Используя это значение, получим =3303,6 и T=0,714.

4 Критерии для сравнения распределений численностей

В классических экспериментах по селекции гороха, знаменовавших начало генетики, Г.Мендель наблюдал частоты различных видов семян, получаемых при скрещивании растений с круглыми желтыми семенами и с морщинистыми зелеными семенами.

В данном и аналогично случаях интерес представляет проверка нулевой гипотезы о равенстве функций распределения генеральных совокупностей, из которых извлекаются выборки, т.е. Теоретические выкладки показали, что при решении такой задачи может быть использована статистика

= (23)

Критерий, использующий эту статистику был предложен К.Пирсоном и носит его имя. Критерий Пирсона применяется для группированных данных независимо от того, имеют ли они непрерывное или дискретное распределение. В (23) k- число интервалов группирования, - эмпирические численности, а - ожидаемые или теоретические численности (=n). В случае справедливости нулевой гипотезы статистика (23) имеет - распределение с k-1 степенями свободы.

Для приведенных в таблице данных

Критические точки -распределения с 3 степенями свободы для =0,05 и =0,01 равны соответственно 7,81 и 11,3. Следовательно нулевая гипотеза принимается и делается вывод, что расщепление в потомстве достаточно хорошо соответствует теоретическим закономерностям.

Рассмотрим еще один пример. В колонии морских свинок получены в течение года следующие численности рождения самцов по месяцам, начиная с января: 65, 64, 65, 41, 72, 80, 88, 114, 80, 129, 112, 99. Можно ли считать, что полученные данные соответствуют равномерному распределению, т.е. распределению, в котором численность рождающихся в отдельные месяцы самцов в среднем одинакова? Если принять такую гипотезу, то ожидаемое среднее число рождающихся самцов будет равно. Тогда

Критическое значение распределения с 11 степенями свободы и = 0,01 равно 24,7, поэтому на выбранном уровне значимости нулевая гипотеза отвергается. Дальнейший анализ экспериментальных данных показывает, что вероятность рождения самцов морских свинок во второй половине года повышается.

В случае, когда теоретическое распределение предполагается равномерным, проблем с вычислением теоретических численностей не возникает. В случае же других распределений расчеты усложняются. Рассмотрим на примерах, как рассчитываются теоретические численности для нормального и пуассоновского распределения, которые достаточно часто встречаются в исследовательской практике.

Начнем с определения теоретических численностей для нормального распределения. Идея состоит в том, чтобы преобразовать наше эмпирическое распределение в распределение с нулевым средним и единичной дисперсией. Естественно, что при этом границы класс-интервалов будут выражаться в единицах стандартного отклонения, и тогда, помня о том, что площадь под участком кривой, ограниченной верхним и нижним значением каждого интервала, равна вероятности попадания в данный интервал, умножением этой вероятности на общую численность выборки мы и получим искомую теоретическую численность.

Пусть у нас есть эмпирическое распределение для длины листьев дуба и необходимо проверить, можно ли считать с уровнем значимости =0,05, что это распределение незначимо отличается от нормального.

Поясним, как рассчитывались значения, приводимые в таблице. Во-первых, по стандартной методике для группированных данных были вычислены среднее и стандартное отклонение, которые оказались равными =10,3 и =2,67. По этим значениям были найдены границы интервалов в единицах стандартного отклонения, т.е. найдены стандартизованные величины Например, для границ интервала (46) имеем: (4-10,3)/2,67=-2,36; (6-10,3)/2,67=-1,61. Затем для каждого интервала была вычислена вероятность попадания в него. Например, для интервала (-0,110,64) из таблицы нормального распределения имеем, что слева от точки (-0,11) лежит 0,444 площади единичного нормального распределения, а слева от точки (0,64) - 0,739 этой площади. Таким образом, вероятность попадания в этот интервал равна 0,739-0,444=0,295. Остальные вычисления очевидны. Следует объяснить разницу между n и. Она возникает за счет того, что теоретическое нормальное распределение можно считать для практических целей сосредоточенным на интервале. В эксперименте же значений, отклоняющихся больше, чем на от среднего не бывает. Поэтому площадь под кривой эмпирического распределения не равна единице, за счет чего и возникает погрешность. Однако эта погрешность не вносит существенных изменений в окончательные результаты.

При сравнении эмпирического и теоретического распределений число степеней свободы для -распределения находится из сотношения f=m-1-l, где m - число класс-интервалов, а l - число независимых параметров распределения, оцениваемых по выборке. Для нормального распределения l=2, так как оно зависит от двух параметров: и.

Число степеней свободы уменьшается также на 1, так как для любого распределения существует условие, что =1, и следовательно, число независимо определяемых вероятностей равно k-1, а не k.

Для приведенного примера f = 8-2-1 = 5 и критическое значение при =0,05 для -распределения с 5 степенями свободы равно 11,07. Следовательно, нулевая гипотеза принимается.

Технику сравнения эмпирического распределения с распределением Пуассона рассмотрим на классическом примере о числе смертей драгун за месяц в прусской армии от удара лошадиным копытом. Данные относятся к XIX веку, а численности смертей 0, 1, 2 и т.д. характеризуют эти печальные, но, к счастью происходившие сравнительно редко события в прусской кавалерии почти за 20 лет наблюдений.

Как известно распределение Пуассона имеет следующий вид:

где - параметр распределения, равный среднему,

K =0,1,2,...,n.

Так как распределение дискретное, то интересующие нас вероятности находятся непосредственно по формуле.

Покажем, например, как определяется теоретическая численность для k=3. Обычным способом находим, что среднее в этом распределении равно 0,652. Имея это значение, найдем

Отсюда

Если выбрать =0,05, то критическое значение для -распределения с двумя степенями свободы равно 5,99, и, следовательно, гипотеза о том, что эмпирическое распределение на выбранном уровне значимости не отличается от пуассоновского, принимается. Число степеней свободы в данном случае равно двум, потому что распределение Пуассона зависит от одного параметра, и значит, в соотношении f = m-1-l число параметров, оцениваемых по выборке l = 1, и f = 4-1-1 = 2.

Иногда на практике оказывается важным знать, различаются ли между собой два распределения, даже если затруднительно решить, каким теоретическим распределением они могут быть аппроксимированы. Это особенно важно в тех случаях, когда, например, их средние и/или дисперсии между собой статистически значимо не различаются. Обнаружение существенных различий в характере распределения может помочь исследователю сделать предположения относительно возможных факторов, которые приводят к этим различиям.

В этом случае может быть использована статистика (23), причем в качестве эмпирических численностей используются значения одного распределения, а в качестве теоретического - другого. Естественно, что в этом случае разбиение на класс интервалы должно быть единым для обоих распределений. Это значит, что для всех данных из обоих выборок выбираются минимальное и максимальное значение, независимо к какой выборке они относятся, а затем в соответствии с выбранным числом класс-интервалов определяется их ширина и подсчитывается число объектов, попавших в отдельные интервалы, для каждой выборки отдельно.

При этом может оказаться, что в некоторые классы не попадает или попадает мало (35) значений. Использование критерия Пирсона дает удовлетворительные результаты, если в каждый интервал попадает не менее 35 значений. Поэтому, если это требование не выполняется, необходимо объединять соседние интервалы. Конечно же, это делается для обоих распределений.

И, наконец, еще одно замечание, касающееся сравнения вычисленного значения и критических точек для него по выбранному уровню значимости. Нам уже известно, что если >, то нулевая гипотеза отвергается. Однако и значения, близкие к критической точке 1- справа, должны вызывать у нас подозрения, потому что такое слишком хорошее совпадение эмпирического и теоретического распределений или двух эмпирических распределений (ведь в этом случае численности будут отличаться между собой очень незначительно) вряд ли может встретиться для случайных распределений. В этом случае возможны две альтернативных объяснения: либо мы имеем дело с законом, и тогда получаемый результат неудивителен, либо экспериментальные данные в силу каких-то причин “подогнаны” друг к другу, что требует их повторной проверки.

Кстати, в примере с горохом мы имеем как раз первый случай, т.е. появление семян разной гладкости и окраски в потомстве определяется законом, и поэтому неудивительно, что вычисленное значение получилось таким малым.

Теперь вернемся к проверке статистической гипотезы об идентичности двух эмпирических распределений. Приведены данные о распределении числа лепестков цветков анемона, взятых из разных местообитаний.

Из табличных данных видно, что два первых и два последних интервала должны быть объединены, так как число, попадающих в них значений недостаточно для корректного использования критерия Пирсона. Из этого примера видно также, что если бы анализировалось только распределение из местообитания А, то класс-интервала, содержащего 4 лепестка, вообще бы не было. Он появился в результате того, что рассматриваются два распределения одновременно, а во втором распределении такой класс имеется.

Итак, проверим гипотезу, что два этих распределения не отличаются друг от друга. Имеем

Для числа степеней свободы 4 и уровня значимости даже равного 0,001, нулевая гипотеза отвергается.

Для сравнения двух выборочных распределений можно использовать и непараметрический критерий, предложенный Н.В.Смирновым и основанный на статистике, введенной ранее А.Н.Колмогоровым. (Вот почему этот критерий иногда называют критерием Колмогорова-Смирнова.) Этот критерий основан на сравнении рядов накопленных частот. Статистика этого критерия находится как

max, (24)
где и - кривые распределения накопленных частот.

Критические точки для статистики (24) находятся из соотношения

, (25)
где и -объемы первой и второй выборок.

Критические значения для =0,1;=0,05; и =0,01 равны соответственно 1,22; 1,36; 1,63. Проиллюстрируем использование критерия Смирнова на группированных данных, и представляющих собой рост школьников одинакового возраста из двух разных районов.

Максимальная разность между кривыми накопленных частот равна 0,124. Если выбрать уровень значимости =0,05, то из формулы (25) имеем

0,098.

Таким образом, максимальная эмпирическая разность больше теоретически ожидаемой, поэтому на принятом уровне значимости нулевая гипотеза об идентичности двух рассматриваемых распределений отвергается.

Критерий Смирнова может быть использован и не для группированных данных, единственное требование состоит в том, что эти данные должны быть извлечены из генеральных совокупностей с непрерывным распределением. Желательно также, чтобы число значений в каждой из выборок было не менее 40-50.

Для проверки нулевой гипотезы, согласно которой двум независимым выборкам объемом n и m отвечают одинаковые функции распределения, Ф.Вилкоксоном был предложен непараметрический критерий, получивший обоснование в работах Г.Манна и Ф.Уитни. Поэтому в литературе этот критерий называется, то критерием Вилкоксона, то критерием Манна-Уитни. Этот критерий целесообразно использовать, когда объемы получаемых выборок малы, и использование других критериев неправомерно.

Приводимые ниже выкладки иллюстрируют подход к построению критериев, использующих статистики, связанные не с самими выборочными значениями, а с их рангами.

Пусть в нашем распоряжении оказались две выборки объема n и m значений. Построим из них общий вариационный ряд, и каждому из этих значений сопоставим его ранг (), т.е. порядковый номер, который оно занимает в ранжированном ряду. Если справедлива нулевая гипотеза, то любое распределение рангов равновероятно, а общее число всевозможных комбинаций рангов при заданных n и m равно числу сочетаний из N=n+m элементов по m.

Критерий Вилкоксона основан на статистике

. (26)

Формально для проверки нулевой гипотезы необходимо подсчитать все возможные комбинации рангов, при которых статистика W принимает значения равные или меньшие тому, которое получено для конкретного ранжированного ряда, и найти отношение этого числа к общему числу возможных комбинаций рангов по обоим выборкам. Сравнение полученного значения с выбранным уровнем значимости позволит принять или отвергнуть нулевую гипотезу. Разумность такого подхода состоит в том, что если одно распределение смещено относительно другого, то это проявится в том, что маленькие ранги должны соответствовать, в основном, одной выборке, а большие - другой. В зависимости от этого соответствующие суммы рангов должны быть маленькими или большими в зависимости от того, какая альтернатива имеет место.

Необходимо проверить гипотезу об одинаковости функций распределения, характеризующих оба метода измерения, с уровнем значимости =0,05.

В данном примере n = 3, m = 2, N = 2+3 = 5, а сумма рангов, соответствующих измерениям по методу В равна 1+3 = 4.

Выпишем все =10 возможных распределений рангов и их суммы:

Ранги: 1,2 1,3 1,4 1,5 2,3 2,4 2,5 3,4 3,5 4,5

Суммы: 3 4 5 6 5 6 7 7 8 9

Отношение числа комбинаций рангов, сумма которых не превосходит полученного значения 4 для метода В, к общему числу возможных комбинаций рангов равно 2/10=0,2>0,05, так что для этого примера нулевая гипотеза принимается.

При малых значениях n и m проверку нулевой гипотезы можно осуществлять непосредственным подсчетом числа комбинаций соответствующих сумм рангов. Однако для выборок большого объема это становится практически невозможным, поэтому была получена аппроксимация для статистики W, которая, как оказалось, асимптотически стремится к нормальному распределению с соответствующими параметрами. Мы проведем расчет этих параметров, чтобы проиллюстрировать подход к синтезу статистических критериев, основанных на рангах. При этом мы воспользуемся результатами, приведенными в главе 37.

Пусть W -сумма рангов, соответствующих одной из выборок, например, той, что имеет объем m. Пусть - среднее арифметическое этих рангов. Математическое ожидание величины равно

так как при нулевой гипотезе ранги элементов выборки объемом m представляют собой выборку из конечной совокупности 1, 2,...,N (N=n+m). Известно, что

Поэтому.

При вычислении дисперсии воспользуемся тем фактом, что сумма квадратов рангов общего ранжированного ряда, составленного из значений обоих выборок, равна

С учетом полученных ранее соотношений для оценки дисперсий генеральных совокупностей и выборок имеем

Отсюда следует, что

Было показано, что статистика

(27)

для больших n и m имеет асимптотически единичное нормальное распределение.

Рассмотрим пример. Пусть для двух возрастных групп получены данные о полярографической активности фильтрата сыворотки крови. Необходимо с уровнем значимости =0,05 проверить гипотезу о том, что выборки взяты из генеральных совокупностей, имеющих одинаковые функции распределения. Сумма рангов для первой выборки равна 30, для второй - 90. Проверкой правильности подсчета сумм рангов является выполнение условия. В нашем случае 30+90=(7+8)(7+8+1):

:2=120. По формуле (27), используя сумму рангов второй выборки, имеем

Если использовать сумму рангов для первой выборки, то получим значение =-3,01. Так как вычисленная статистика имеет единичное нормальное распределение, то, естественно, что и в первом, и во втором случае нулевая гипотеза отвергается, так как критическое значение для 5% уровня значимости равно по модулю 1,96.

При использовании критерия Вилкоксона определенные трудности возникают, когда в обоих выборках встречаются одинаковые значения, так как при этом использование приведенной выше формулы приводит к уменьшению мощности критерия, иногда очень существенному.

Чтобы для таких случаев свести ошибки к минимуму целесообразно пользоваться следующим эмпирическим правилом. Первый раз, когда встречаются одинаковые значения, принадлежащие разным выборкам, то, какое из них в вариационном ряду поставить первым, определяется случайно, например, подбрасыванием монеты. Если таких значений несколько, то, определив случайно первое, остальные равные значения из обоих выборок чередуют через одно. В тех же случаях, когда встречаются и другие равные значения, поступают так. Если в первой группе равных значений первым случайно было выбрано значение из одной какой-то выборки, то в следующей группе равных значений первым выбирается значение из другой выборки и т.д.

5.Критерии для проверки случайности и оценки резко выделяющихся наблюдений

Довольно часто данные получают сериями во времени или пространстве. Например, в процессе проведения психофизиологических экспериментов, которые могут длиться несколько часов, несколько десятков или сотен раз, измеряется латентный (скрытый период) реакции на предъявляемый зрительный стимул, или в географических обследованиях, когда на площадках, расположенных в определенных местах, например, вдоль опушки леса, подсчитывается число растений некоторого вида и т.д. С другой стороны, при вычислении различных статистик предполагается, что исходные данные независимы и одинаково распределены. Поэтому интерес представляет проверка этого предположений.

Сначала рассмотрим критерий для проверки нулевой гипотезы о независимости одинаково нормально распределенных величин. Таким образом, этот критерий является параметрическим. Он основан на расчете среднего квадратов последовательных разностей

. (28)

Если ввести новую статистику, то, как известно из теории, при справедливости нулевой гипотезы статистика

(29)
для n>10 распределена асимптотически по стандартному нормальному распределению.

Рассмотрим пример. Приведены времена реакции () испытуемого в одном из психофизиологических экспериментов.

Имеем: откуда

Так как для =0,05 критическое значение равно 1,96, нулевая гипотеза о независимости полученного ряда принимается с выбранным уровнем значимости.

Другой вопрос, который часто возникает при анализе экспериментальных данных состоит в том, что делать с некоторыми наблюдениями, которые резко отличаются от основной массы наблюдений. Такие резко выделяющиеся наблюдения могу возникнуть при методических ошибках, ошибках вычислений и т.д. Во всех тех случаях, когда экспериментатору известно, что в наблюдение вкралась ошибка, он должен исключать это значение независимо от его величины. В других случаях существует только подозрение на ошибку, и тогда необходимо использовать соответствующие критерии, с тем чтобы принять то или иное решение, т.е. исключить или оставить резко выделяющиеся наблюдения.

В общем случае вопрос ставится так: произведены ли наблюдения над одной и той же генеральной совокупностью или некоторая часть или отдельные значения относятся к другой генеральной совокупности?

Конечно, единственным надежным способом для исключения отдельных наблюдений является тщательное изучение условий, при которых эти наблюдения получены. Если по каким-то причинам условия отличались от стандартных, то наблюдения должны быть исключены из дальнейшего анализа. Но в определенных случаях имеющиеся критерии, хотя и несовершенные, могут оказать существенную пользу.

Мы приведем здесь без доказательства несколько соотношений, которые могут быть использованы для проверки гипотезы о том, что наблюдения производятся случайно над одной и той же генеральной совокупностью. Имеем

(30)

(31)

(32)

где - подозреваемое на “выброс” наблюдение. Если все значения ряда проранжировать, то в нем резко выделяющееся наблюдение будет занимать n-е место.

Для статистики (30) протабулирована функция распределения. Приведены критические точки этого распределения для некоторых n.

Критическими значениями для статистики (31) в зависимости от n являются

4,0; 6

4,5; 100

5,0; n>1000.

В формуле (31) предполагается, что и вычисляются без учета подозреваемого наблюдения.

Со статистикой (32) дело обстоит сложнее. Для нее показано, что в случае, если распределены равномерно, то математическое ожидание и дисперсия имеют вид:

Критическую область образуют малые значения, которые соответствуют большим значениям. Если интересует проверка на “выброс” наименьшего значения, то сначала преобразуют данные, чтобы они имели равномерное распределение на интервале, а затем берут дополнение этих равномерных величин до 1 и проверяют по формуле (32).

Рассмотрим использование приведенных критериев для следующего проранжированного ряда наблюдений: 3,4,5,5,6,7,8,9,9,10,11,17. Необходимо решить, следует ли отвергнуть наибольшее значение 17.

Имеем: По формуле (30) =(17-11)/3,81=1,57, и нулевая гипотеза должна быть принята при =0,01. По формуле (31) =(17-7,0)/2,61=3,83, и нулевая гипотеза также должна быть принята. Для использования третьего критерия найдем =5,53, тогда

Статистика w распределена нормально с нулевым средним и единичной дисперсией, и, следовательно нулевая гипотеза при =0,05 принимается.

Сложность использования статистики (32) состоит в необходимости иметь априорную информацию о законе распределения выборочных значений, а затем аналитически преобразовать это распределение в равномерное на интервале.

Литература

1. Елисеева И.И. Общая теория статистики: учебник для вузов / И.И. Елисеева, М.М. Юзбашев; под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2009. – 656 с.

2. Ефимова М.Р. Практикум по общей теории статистики: учебное пособие для вузов / М.Р. Ефимова и др. – М.: Финансы и статистика, 2007. – 368 с.

3. Мелкумов Я.С. Социально-экономическая статистика: учебно-методическое пособие. – М.: ИМПЭ-ПАБЛИШ, 2007. – 200 с.

4. Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности: учебник для вузов / О.Э. Башина и др.; под ред. О.Э. Башиной, А.А. Спирина. - М.: Финансы и статистика, 2008. – 440 с.

5. Салин В.Н. Курс теории статистики для подготовки специалистов финансово-экономического профиля: учебник / В.Н. Салин, Э.Ю. Чурилова. – М.: Финансы и статистика, 2007. – 480 с.

6. Социально-экономическая статистика: практикум: учебное пособие / В.Н. Салин и др.; под ред. В.Н. Салина, Е.П. Шпаковской. – М.: Финансы и статистика, 2009. – 192 с.

7. Статистика: учебное пособие / А.В. Багат и др.; под ред. В.М. Симчеры. – М.: Финансы и статистика, 2007. – 368 с.

8. Статистика: учебник / И.И. Елисеева и др.; под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Высшее образование, 2008. - 566 с.

9. Теория статистики: учебник для вузов / Р.А. Шмойлова и др.; под ред. Р.А. Шмойловой. - М.: Финансы и статистика, 2007. – 656 с.

10. Шмойлова Р.А. Практикум по теории статистики: учебное пособие для вузов / Р.А. Шмойлова и др.; под ред. Р.А. Шмойловой. - М.: Финансы и статистика, 2007. – 416 с.

PAGE \* MERGEFORMAT 1

Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.вшм>
17926.		Анализе критериев компактности промышленной робототехники	1.77 MB
	Программные решения для оценки компактности робота. Миниатюрные роботы могут проникать в узкие образования щели отверстия и двигаться в них что позволяет применять их для выполнения различных задач в ограниченных пространствах например трубах малого диаметра имеющих размер порядка нескольких миллиметров. Практически во всех отраслях промышленности вопросы миниатюризации исполнительных устройств и механизмов являются одними из приоритетных задач; важнейшее значение они имеют для малоресурсных технологических процессов...
1884.		Разработка критериев эффективного управления персоналом в ОАО «Казань-Оргсинтез» для СМК	204.77 KB
	Основные теоретические аспекты системы управления персоналом. Персонал как объект управления. Методы исследования системы управления персоналом для СМК. Способы повышения эффективности управления персоналом.
16316.		а эта теория разрешает эту дилемму; б разрешение этой дилеммы требует наличия критериев этой теории.	12.12 KB
	Автор утверждает что фундаментальная причина дилеммы макроэкономической политики в условиях фиксированного валютного курса состоит не в нарушении правила Тинбергена что является на самом деле следствием а не причиной а в отсутствии необходимых экономических предпосылок для фиксации валютного курса представленных в теории оптимальных валютных зон. Причиной возникновения этой дилеммы обычно считают нарушение правила Тинбергена согласно которому для достижения определенного числа экономических целей в руках у государства должно быть по...
18273.		Анализ правового статуса Президента Республике Казахстан с позиций общепринятых критериев правового государства и принципа разделения властей	73.64 KB
	Суть подхода Президента состояла в том что страна должна развиваться естественным образом эволюционно. Президентское правление - предусмотренное Конституцией государства это прекращение деятельности институтов самоуправления определенного регионального административного образования и осуществление управления последним посредством уполномоченных назначаемых главой государства - президентом и подотчетными ему лицами; предусмотренное Конституцией наделение главы государства - президента чрезвычайными полномочиями в масштабе всего...
5713.		Использование DotNetNuke	1.87 MB
	В данной курсовой работе мы будем изучать DotNetNuke. DotNetNuke (сокращенное название DNN) - система управления содержимым веб-сайтами (Web Content Management System, сокр. WCMS), которая вобрала в себя все самые лучшие достижения в области технологий построения веб-проектов.
7073.		ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНТЕРФЕЙСОВ	56.59 KB
	Слово интерфейс - многозначное, и в разных контекстах оно имеет различный смысл. Существует понятие программного или аппаратного интерфейса, но в большинстве случаев слово интерфейс ассоциируется с некоторой связью между объектами или процессами.
6471.		Структура и использование регистров	193.04 KB
	Структура и использование регистров Регистры предназначены для хранения и преобразования многоразрядных двоичных чисел. Регистры построены как упорядоченная последовательность триггеров. В микропроцессорах регистры являются основным средством для быстрого запоминания и хранения цифровой информации. Элементы из которых строят регистры – это D RS JKтриггеры с динамическим по срезу импульса или статическим управлением.
6472.		Структура и использование счетчиков	318.58 KB
	Классификация и принцип построения асинхронных счетчиков Счетчиком называется устройство на выходах которого формируется двоичный код выражающий количество импульсов поступивших на вход счетчика. Количество возможных состояний счетчика называют его модулем или коэффициентом счета и обозначают. Основные временные характеристики счетчиков: – максимальная частота поступления счетных импульсов; – время перехода из одного состояния в другое; Различают собственно микросхемы счетчика и схемы построенной на основе одной или нескольких...
7066.		ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕНЮ В ПРИЛОЖЕНИИ	240.2 KB
	Меню программы Меню программы должно соответствовать основным режимам работы программы поэтому к выбору пунктов меню и команд отдельных пунктов необходимо относится с особой тщательностью. Для лучшего понимания технологии использования меню в программах рассмотрим последовательность действий при решении следующей учебной программы. Все действия оформить с использованием меню.
7067.		ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДИАЛОГОВАХ МЕНЮ	73.13 KB
	Продолжая разработку приложения с меню и инструментальной панелью, нам необходимо написать код обработчиков сообщений для команд создания матрицы 6*6 и вывод (печать) матрицы в клиентскую область нашего приложения. Создание матрицы необходимо заканчивать выводом на экран сообщения об успешном окончании работы обработчика, например, «Матрица создана».

Введение

Актуальность данной темы в том, что в течение изучения основ биостатистики мы предполагали, что закон распределения генеральной совокупности известен. Но что, если закон распределения неизвестен, но есть основания предполагать, что он имеет определенный вид (назовем его А), то проверяют нулевую гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону А. Проверка этой гипотезы производится при помощи специально подобранной случайной величины - критерия согласия.

Критерии согласия - это критерии проверки гипотез о соответствии эмпирического распределения теоретическому распределению вероятностей. Такие критерии подразделяются на два класса:

• Ш Общие критерии согласия применимы к самой общей формулировке гипотезы, а именно к гипотезе о согласии наблюдаемых результатов с любым априорно предполагаемым распределением вероятностей.
• Ш Специальные критерии согласия предполагают специальные нулевые гипотезы, формулирующие согласие с определенной формой распределения вероятностей.

Критерий согласия

Наиболее распространенные критерии согласия - омега-квадрат, хи-квадрат, Колмогорова и Колмогорова-Смирнова.

Непараметрические критерии согласия Колмогорова, Смирнова, омега квадрат широко используются. Однако с ними связаны и широко распространенные ошибки в применении статистических методов.

Дело в том, что перечисленные критерии были разработаны для проверки согласия с полностью известным теоретическим распределением. Расчетные формулы, таблицы распределений и критических значений широко распространены. Основная идея критериев Колмогорова, омега квадрат и аналогичных им состоит в измерении расстояния между функцией эмпирического распределения и функцией теоретического распределения. Различаются эти критерии видом расстояний в пространстве функций распределения.

Критерии согласия ч2 Пирсона для простой гипотезы

Теорема К. Пирсона относится к независимым испытаниям с конечным числом исходов, т.е. к испытаниям Бернулли (в несколько расширенном смысле). Она позволяет судить о том, согласуются ли наблюдения в большом числе испытаний частоты этих исходов с их предполагаемыми вероятностями.

Во многих практических задачах точный закон распределения неизвестен. Поэтому выдвигается гипотеза о соответствии имеющегося эмпирического закона, построенного по наблюдениям, некоторому теоретическому. Данная гипотеза требует статистической проверки по результатам которой будет либо подтверждена, либо опровергнута.

Пусть X - исследуемая случайная величина. Требуется проверить гипотезу H0 о том, что данная случайная величина подчиняется закону распределения F(x). Для этого необходимо произвести выборку из n независимых наблюдений и по ней построить эмпирический закон распределения F"(x). Для сравнения эмпирического и гипотетического законов используется правило, называемое критерием согласия. Одним из популярных является критерий согласия хи-квадрат К. Пирсона. В нем вычисляется статистика хи-квадрат:

где N - число интервалов, по которому строился эмпирический закон распределения (число столбцов соответствующей гистограммы), i - номер интервала, pt i -вероятность попадания значения случайной величины в i-й интервал для теоретического закона распределения, pe i - вероятность попадания значения случайной величины в i-й интервал для эмпирического закона распределения. Она и должна подчиняться распределению хи-квадрат.

Если вычисленное значение статистики превосходит квантиль распределения хи-квадрат с k-p-1 степенями свободы для заданного уровня значимости, то гипотеза H0 отвергается. В противном случае она принимается на заданном уровне значимости. Здесь k - число наблюдений, p число оцениваемых параметров закона распределения.

Рассмотрим статистику:

Статистика ч2 называется статистикой хи-квадрат Пирсона для простой гипотезы.

Ясно, что ч2 представляем собой квадрат некоего расстояния между двумя r-мерными векторами: вектором относительных частот (mi /n, …, mr /n) и вектором вероятностей (pi , …, pr). От евклидового расстояния это расстояние отличается лишь тем, что разные координаты входят в него с разными весами.

Обсудим поведение статистики ч2 в случае, когда гипотеза Н верна, и в случае, когда Н неверна. Если верна Н, то асимптотическое поведение ч2 при n > ? указывает теорема К. Пирсона. Чтобы понять, что происходит с (2.2), когда Н неверна, заметим, что по закону больших чисел mi /n > pi при n > ?, для i = 1, …, r. Поэтому при n > ?:

Эта величина равна 0. Поэтому если Н неверна, то ч2 >? (при n > ?).

Из сказанного следует, что Н должна быть отвергнута, если полученное в опыте значение ч2 слишком велико. Здесь, как всегда, слова «слишком велико» означают, что наблюденное значение ч2 превосходит критическое значение, которое в данном случае можно взять из таблиц распределения хи-квадрат. Иначе говоря, вероятность Р(ч2 npi ч2) - малая величина и, следовательно, маловероятно случайно получить такое же, как в опыте, или еще большее расхождение между вектором частот и вектором вероятностей.

Асимптотический характер теоремы К. Пирсона, лежащий в основе этого правила, требует осторожности при его практическом использовании. На него можно полагаться только при больших n. Судить же о том, достаточно ли n велико, надо с учетом вероятностей pi , …, pr . Поэтому нельзя сказать, к примеру, что ста наблюдений будет достаточно, поскольку не только n должно быть велико, но и произведения npi , …, npr (ожидаемые частоты) тоже не должны быть малы. Поэтому проблема аппроксимации ч2 (непрерывное распределение) к статистике ч2 , распределение которой дискретно, оказалась сложной. Совокупность теоретических и экспериментальных доводов привела к убеждению, что эта аппроксимация применима, если все ожидаемые частоты npi>10. если число r (число различных исходов) возрастает, граница для снижена (до 5 или даже до 3, если r порядка нескольких десятков). Чтобы соблюсти эти требования, на практике порой приходится объединять несколько исходов, т.е. переходить к схеме Бернулли с меньшим r.

Описанный способ для проверки согласия можно прилагать не только к испытаниям Бернулли, но и к произвольным выборкам. Предварительно их наблюдения надо превратить в испытания Бернулли путем группировки. Делают это так: пространство наблюдений разбивают на конечное число непересекающихся областей, а затем для каждой области подсчитывают наблюденную частоту и гипотетическую вероятность.

В данном случае к перечисленным ранее трудностям аппроксимации прибавляется еще одна - выбор разумного разбиения исходного пространства. При этом надо заботится о том, чтобы в целом правило проверки гипотезы об исходном распределении выборки было достаточно чувствительным к возможным альтернативам. Наконец, отмечу, что статистические критерии, основные на редукции к схеме Бернулли, как правило, не являются состоятельными против всех альтернатив. Так что такой метод проверки согласия имеет ограниченную ценность.

Критерий согласия Колмогорова - Смирнова в своем классическом виде является более мощным, чем критерий ч2 и может быть использован для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения любому теоретическому непрерывному распределению F(x) с заранее известными параметрами. Последнее обстоятельство накладывает ограничения на возможность широкого практического приложения этого критерия при анализе результатов механических испытаний, так как параметры функции распределения характеристик механических свойств, как правило, оценивают по данным самой выборки.

Критерий Колмогорова - Смирнова применяют для негруппированных данных или для группированных в случае малой ширины интервала (например, равной цене деления шкалы силоизмерителя, счетчика циклов нагружения и т. д.). Пусть результатом испытаний серии из n образцов является вариационный ряд характеристики механических свойств

x1 ? x2 ? ... ? xi ? ... ? xn. (3.93)

Требуется проверить нулевую гипотезу о принадлежности выборочного распределения (3.93) теоретическому закону F(x).

Критерий Колмогорова - Смирнова базируется на распределении максимального отклонения накопленной частности от значения функции распределения. При его использовании вычисляют статистики

являющуюся статистикой критерия Колмогорова. Если выполняется неравенство

Dnvn ? лб (3.97)

для больших объемов выборки (n > 35) или

Dn(vn + 0.12 + 0.11/vn) ? лб (3.98)

для n ? 35, то нулевую гипотезу не отвергают.

При невыполнении неравенств (3.97) и (3.98) принимают альтернативную гипотезу о принадлежности выборки (3.93) неизвестному распределению.

Критические значения лб составляют: л0.1 = 1.22; л0.05 = 1.36; л0.01 = 1.63.

Если параметры функции F(x) заранее не известны, а оцениваются по данным выборки, критерий Колмогорова - Смирнова теряет свою универсальность и может быть использован только для проверки соответствия опытных данных лишь некоторым конкретным функциям распределения.

При использовании в качестве нулевой гипотезы принадлежность опытных данных нормальному или логарифмически нормальному распределению вычисляют статистики:

где Ц(zi) - значение функции Лапласа для

Ц(zi) = (xi - xср)/s Критерий Колмогорова - Смирнова для любых объемов выборки n записывают в виде

Критические значения лб в этом случае составляют: л0.1 = 0.82; л0.05 = 0.89; л0.01 = 1.04.

Если проверяют гипотезу о соответствии выборки ***экспоненциальному распределению, параметр которого оценивают по опытным данным, вычисляют аналогичные статистики:

критерий эмпирический вероятность

и составляют критерий Колмогорова - Смирнова.

Критические значения лб для этого случая: л0.1 = 0.99; л0.05 = 1.09; л0.01 = 1.31.

Для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения теоретическому закону распределения используются особые статистические показатели - критерии согласия (или критерии соответствия). К ним относятся критерии Пирсона, Колмогорова, Романовского, Ястремского и др. Большинство критериев согласия базируется на использовании отклонений эмпирических частот от теоретических. Очевидно, что чем меньше эти отклонения, тем лучше теоретическое распределение соответствует эмпирическому (или описывает его).

Критерии согласия - это критерии проверки гипотез о соответствии эмпирического распределения теоретическому распределению вероятностей. Такие критерии подразделяются на два класса: общие и специальные. Общие критерии согласия применимы к самой общей формулировке гипотезы, а именно, к гипотезе о согласии наблюдаемых результатов с любым априорно предполагаемым распределением вероятностей. Специальные критерии согласия предполагают специальные нулевые гипотезы, формулирующие согласие с определенной формой распределения вероятностей.

Критерии согласия, опираясь на установленный закон распределения, дают возможность установить, когда расхождения между теоретическими и эмпирическими частотами следует признать несущественными (случайными), а когда - существенными (неслучайными). Из этого следует, что критерии согласия позволяют отвергнуть или подтвердить правильность выдвинутой при выравнивании ряда гипотезы о характере распределения в эмпирическом ряду и дать ответ, можно ли принять для данного эмпирического распределения модель, выраженную некоторым теоретическим законом распределения.

Критерий согласия Пирсона c 2 (хи-квадрат) - один из основных критериев согласия. Предложен английским математиком Карлом Пирсоном (1857-1936) для оценки случайности (существенности) расхождений между частотами эмпирического и теоретического распределений:

Схема применения критерия c 2 к оценке согласованности теоретического и эмпирического распределений сводится к следующему:

1. Определяется расчетная мера расхождения .

2. Определяется число степеней свободы.

3. По числу степеней свободы n с помощью специальной таблицы определяется .

4. Если , то при заданном уровне значимости α и числе степеней свободы n гипотезу о несущественности (случайности) расхождений отклоняют. В противном случае гипотезу можно признать не противоречащей полученным экспериментальным данным и с вероятностью (1 – α) можно утверждать, что расхождения между теоретическими и эмпирическими частотами случайны.

Уровень значимости - это вероятность ошибочного отклонения выдвинутой гипотезы, т.е. вероятность того, что будет отвергнута правильная гипотеза. В статистических исследованиях в зависимости от важности и ответственности решаемых задач пользуются следующими тремя уровнями значимости:

1) a = 0,1, тогда Р = 0,9;

2) a = 0,05, тогда Р = 0,95;

3) a = 0,01, тогда Р = 0,99.

Используя критерий согласия c 2 , необходимо соблюдать следующие условия:

1. Объем исследуемой совокупности должен быть достаточно большим (N ≥ 50), при этом частота или численность группы должна быть не менее 5. Если это условие нарушается, необходимо предварительно объединить небольшие частоты (меньше 5).

2. Эмпирическое распределение должно состоять из данных, полученных в результате случайного отбора, т.е. они должны быть независимыми.

Недостатком критерия согласия Пирсона является потеря части первоначальной информации, связанная с необходимостью группировки результатов наблюдений в интервалы и объединения отдельных интервалов с малым числом наблюдений. В связи с этим рекомендуется дополнять проверку соответствия распределений по критерию c 2 другими критериями. Особенно это необходимо при сравнительно малом объеме выборки (n ≈ 100).

В статистике критерий согласия Колмогорова (также известный, как критерий согласия Колмогорова - Смирнова) используется для того, чтобы определить, подчиняются ли два эмпирических распределения одному закону, либо определить, подчиняется ли полученное распределение предполагаемой модели. Критерий Колмогорова основан на определении максимального расхождения между накопленными частотами или частостями эмпирических или теоретических распределений. Критерий Колмогорова исчисляется по следующим формулам:

где D и d - соответственно максимальная разность между накопленными частотами (f – f ¢) и между накопленными частостями (p – p ¢) эмпирического и теоретического рядов распределений; N - число единиц в совокупности.

Рассчитав значение λ, по специальной таблице определяется вероятность, с которой можно утверждать, что отклонения эмпирических частот от теоретических случайны. Если признак принимает значения до 0,3, то это означает, что происходит полное совпадение частот. При большом числе наблюдений критерий Колмогорова способен обнаружить любое отступление от гипотезы. Это означает, что любое отличие распределения выборки от теоретического будет с его помощью обнаружено, если наблюдений будет достаточно много. Практическая значимость этого свойства не существенна, так как в большинстве случаев трудно рассчитывать на получение большого числа наблюдений в неизменных условиях, теоретическое представление о законе распределения, которому должна подчиняться выборка, всегда приближенное, а точность статистических проверок не должна превышать точность выбранной модели.

Критерий согласия Романовского основан на использовании критерия Пирсона, т.е. уже найденных значений c 2 , и числа степеней свободы:

где n - число степеней свободы вариации.

Критерий Романовского удобен при отсутствии таблиц для . Если < 3, то расхождения распределений случайны, если же > 3, то не случайны и теоретическое распределение не может служить моделью для изучаемого эмпирического распределения.

Б. С. Ястремский использовал в критерии согласия не число степеней свободы, а число групп (k ), особую величину q, зависящую от числа групп, и величину хи-квадрат. Критерий согласия Ястремского имеет тот же смысл, что и критерий Романовского, и выражается формулой

где c 2 - критерий согласия Пирсона; - число групп; q - коэффициент, для числа групп меньше 20 равный 0,6.

Если L факт > 3, расхождениz между теоретическими и эмпирическими распределениями неслучайны, т.е. эмпирическое распределение не отвечает требованиям нормального распределения. Если L факт < 3, расхождения между эмпирическим и теоретическим распределениями считаются случайными.